(1)對(duì)稱性：若甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)也能被甲數(shù)整除，那么甲、乙兩數(shù)相等。
(2)傳遞性：若甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。
(2) 若兩個(gè)數(shù)能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差都能該自然數(shù)整除。
(3) 幾個(gè)數(shù)相乘，若其中有一個(gè)因子能被某一個(gè)數(shù)整除，那么它們的積也能被該數(shù)整除。
(4) 若一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)也能分別被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除。
(5) 若一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除，那么，這個(gè)數(shù)也能分別被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)整除。
(6) 若一個(gè)質(zhì)數(shù)能整除兩個(gè)自然數(shù)的乘積，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個(gè)自然數(shù)中的一個(gè)。
2、數(shù)的整除特征：一個(gè)數(shù)要想被另一個(gè)數(shù)整除，該數(shù)需含有對(duì)方所具有的質(zhì)數(shù)因子。
(1)1與0的特性： 1是任何整數(shù)的約數(shù)，0是任何非零整數(shù)的倍數(shù)。
(2)若一個(gè)整數(shù)的末位是0、2、4、6或8，則這個(gè)數(shù)能被2整除。
(3)若一個(gè)整數(shù)的數(shù)字和能被3(9)整除，則這個(gè)整數(shù)能被3(9)整除。
(4) 若一個(gè)整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4(25)整除，則這個(gè)數(shù)能被4(25)整除。
(5)若一個(gè)整數(shù)的末位是0或5，則這個(gè)數(shù)能被5整除。
(6)若一個(gè)整數(shù)能被2和3整除，則這個(gè)數(shù)能被6整除。
(7)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，減去個(gè)位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。
(8)若一個(gè)整數(shù)的末尾三位數(shù)能被8(125)整除，則這個(gè)數(shù)能被8(125)整除。
(9)若一個(gè)整數(shù)的末位是0，則這個(gè)數(shù)能被10整除。
(10)若一個(gè)整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個(gè)數(shù)能被11整除。(不夠減時(shí)依次加11直至夠減為止)。11的倍數(shù)檢驗(yàn)法也可用上述檢查7的(割尾法)處理，過程唯一不同的是：倍數(shù)不是2而是1。
(11)若一個(gè)整數(shù)能被3和4整除，則這個(gè)數(shù)能被12整除。
(12)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，加上個(gè)位數(shù)的4倍，如果差是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。
一個(gè)三位以上的整數(shù)能否被7(11或13)整除，只須看這個(gè)數(shù)的末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位數(shù)字以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差(以大減小)能否被7(11或13)整除。
另法：將一個(gè)多位數(shù)從后往前三位一組進(jìn)行分段。奇數(shù)段各三位數(shù)之和與偶數(shù)段各三位數(shù)之和的差若被7(11或13)整除，則原多位數(shù)也被7(11或13)整除。
(13)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，減去個(gè)位數(shù)的5倍，如果差是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。
(14)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，加上個(gè)位數(shù)的2倍，如果差是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。
(15)若一個(gè)整數(shù)的末三位與3倍的前面的隔出數(shù)的差能被17整除，則這個(gè)數(shù)能被17整除。
(16)若一個(gè)整數(shù)的末三位與7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除，則這個(gè)數(shù)能被19整除。
(17)若一個(gè)整數(shù)的末四位與前面5倍的隔出數(shù)的差能被23(或29)整除，則這個(gè)數(shù)能被23整除。
例題1.(2007年中央第60題)
有一食品店某天購(gòu)進(jìn)了6箱食品，分別裝著餅干和面包，重量分別為8、9、16、20、22、27公斤。該店當(dāng)天只賣出一箱面包，在剩下的5箱中餅干的重量是面包的兩倍，則當(dāng)天食品店購(gòu)進(jìn)了( )公斤面包。
A.44 B.45
C.50 D.52
【解析】本題是整除運(yùn)算題目。由題意可知，6箱食品共重102公斤，設(shè)賣出的一箱面包為x公斤，又由于剩下的5箱中餅干的重量是面包的兩倍，所以(102-x)應(yīng)是3的倍數(shù)，并且(102-x)÷3應(yīng)是其余5箱中一箱的重量或幾箱重量的和。只有當(dāng)x=27時(shí)符合條件，此時(shí)共有面包27+(102-27)÷3=52公斤。故選D。
例題2.(2006年中央(一類)第50題，(二類)第34題)
一個(gè)三位數(shù)除以9余7，除以5余2，除以4余3，這樣的三位數(shù)共有( )。
A.5個(gè) B.6個(gè)
C.7個(gè) D.8個(gè)
【解析】本題要運(yùn)用整除運(yùn)算。根據(jù)“除以5余2”，可知該數(shù)的尾數(shù)為2或7;而根據(jù)“除以4余3”，可知其尾數(shù)只能為7，根據(jù)“除以9余7”，該數(shù)可以表示為9x+7，其中x的范圍為11至110;其中尾數(shù)為7的有9y+7，其中y的范圍為20至110，經(jīng)檢驗(yàn)可知，當(dāng)y為30、50、70、90、110時(shí)，該三位數(shù)仍不能符合“除以4余3”的條件，即只有當(dāng)y為20、40、60、80、100時(shí)，該三位數(shù)才滿足三個(gè)條件，因此共有5個(gè)三位數(shù)。故選A。
例題3：求一個(gè)首位數(shù)字為5的最小六位數(shù)，使這個(gè)數(shù)能被9整除，且各位數(shù)字均不相同。
分析：由于要求被9整除，可只考慮數(shù)字和，又由于要求最小的，故從第二位起應(yīng)盡量用最小的數(shù)字排，并試驗(yàn)?zāi)┪粩?shù)字為哪個(gè)數(shù)時(shí)，六位數(shù)為9的倍數(shù)。
【解析】一個(gè)以5為首位數(shù)的六位數(shù)，要想使它最小，只可能是501234(各位數(shù)字均不相同)。但是501234的數(shù)字和5+0+1+2+3+4=15，并不是9的倍數(shù)，故只能將末位數(shù)字改為7，這時(shí)， 5+0+1+2+3+7=18是9的倍數(shù)，故501237是9的倍數(shù)。
即501237是以5為首位，且是9的倍數(shù)的最小六位數(shù)。
例題4：從0、1、2、4、7五個(gè)數(shù)中選出三個(gè)組成三位數(shù)，其中能被3整除的有 幾個(gè)?
【解析】三位數(shù)的數(shù)字和字和應(yīng)被3整除，所以可取的三個(gè)數(shù)字分別是：
0,1,2; 0,2,4; 0,2,7; 1,4,7。
于是有：(2*2*1)*3+3*2*1=18﹝個(gè)﹞
例題5：某個(gè)七位數(shù)1993□□□能夠同時(shí)被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三字依次是多少?
【解析】這個(gè)七位數(shù)能被2、3、4、5、6、7、8、9整除，
所以能被2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍數(shù)整除。
這個(gè)最小公倍數(shù)是5*6*7*8*9=2520。
1993000/2520=790......2200
2520-2200=320
所以最后三位數(shù)依次是3、2、0。
例題6：十個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，其中的奇數(shù)之和為85，在這10個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中，是3的倍數(shù)的數(shù)字之和最大是多少?
A56 B66 C54 D52
【解析】奇數(shù)之和為85，則這個(gè)5個(gè)奇數(shù)為13、15、17、19、21，由此可知這十個(gè)最大為13-22，則3的倍數(shù)為：12、15、18、21。
行測(cè)更多解題思路和解題技巧，可參看2012年公務(wù)員考試技巧手冊(cè)。
