在公務(wù)員行測(cè)數(shù)量考試中，余數(shù)同余問(wèn)題是數(shù)學(xué)運(yùn)算考察的傳統(tǒng)題型，也是難點(diǎn)題型。雖然近年來(lái)考察有所減少，但對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)與基本題型的掌握仍然不可輕視。行測(cè)考試數(shù)學(xué)運(yùn)算中余數(shù)問(wèn)題側(cè)重考查考生的逐步分析能力。在解答余數(shù)問(wèn)題時(shí)需要考生充分利用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)排除不可能的情形，需要考生具備比較高的分析能力。下文用考試真題為例，說(shuō)明余數(shù)問(wèn)題的解題思路。
按照?？嫉念}型，余數(shù)問(wèn)題可以分為以下幾類： 代入排除類型、余數(shù)關(guān)系式和恒等式的應(yīng)用、同余問(wèn)題、同余問(wèn)題的延伸。
一、代入排除類型
例1：學(xué)生在操場(chǎng)上列隊(duì)做操，只知人數(shù)在90-110之間。如果排成3排則不多不少；排成5排則少2人；排成7排則少4人；則學(xué)生人數(shù)是多少？（ ）
A.102 B.98 C.104 D.108
【解析】對(duì)于余數(shù)問(wèn)題我們可以優(yōu)先考慮代入排除法。直接代入選項(xiàng)，看看哪個(gè)符合題目所給的條件，選項(xiàng)108滿足條件，因此選擇D選項(xiàng)。
例2：在一個(gè)除法算式里，被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)之和是319，已知商是21，余數(shù)是6，問(wèn)被除數(shù)是多少？（ ）
A.237 B.258 C.279 D.290
【解析】對(duì)于余數(shù)問(wèn)題我們可以優(yōu)先考慮代入排除法。根據(jù)題目可得被除數(shù)+除數(shù)=319-21-6=292。直接代入選項(xiàng)，如代入A項(xiàng)，可得除數(shù)為292-237=55，利用被除數(shù)=除數(shù)乘以商再加余數(shù)，這個(gè)等式利用尾數(shù)法，來(lái)快速排除答案。最后可得選擇C選項(xiàng)。
二、余數(shù)關(guān)系式和恒等式的應(yīng)用
余數(shù)的關(guān)系式和恒等式比較簡(jiǎn)單，因?yàn)檫@一部分的知識(shí)點(diǎn)在小學(xué)時(shí)候就已經(jīng)學(xué)過(guò)了，余數(shù)基本關(guān)系式：被除數(shù)÷除數(shù)=商…余數(shù)（0≤余數(shù)<除數(shù)），但是在這里需要強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：
1、余數(shù)是有范圍的（0≤余數(shù)<除數(shù)），這需要引起大家足夠的重視，因?yàn)檫@是某些題目的突破口。
2、由關(guān)系式轉(zhuǎn)變的余數(shù)基本恒等式也需要掌握：被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)。
例3：兩個(gè)整數(shù)相除，商是5，余數(shù)是11，被除數(shù)、除數(shù)、商及余數(shù)的和是99，求被除數(shù)是多少？（ ）
A.12 B.41 C.67 D.71
【解析】余數(shù)是11，因此，根據(jù)余數(shù)的范圍（0≤余數(shù)<除數(shù)），我們能夠確定除數(shù)>11。除數(shù)為整數(shù)，所以除數(shù)≥12，根據(jù)余數(shù)的基本恒等式：被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)≥12×商+余數(shù)=12×5+11=71，因此被除數(shù)最小為71，答案選擇D選項(xiàng)。
例4：有四個(gè)自然數(shù)A、B、C、D，它們的和不超過(guò)400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，這四個(gè)自然數(shù)的和是？（）
A.216 B.108 C.314 D.348
【解析】利用余數(shù)基本恒等式：被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)，有A=B×5+5= （B+1）×5。由于A、B均是自然數(shù)，于是A可以被5整除，同理，A還可以被6、7整除，因此，A可以表示為5、6、7的公倍數(shù)，即210n。由于A、B、C、D的和不超過(guò)400，所以A只能等于210，從而可以求出B=41、C=34、D=29，得到A+B+C+D=314，選C。
【小結(jié)】像上面這兩個(gè)題目，就是活用這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)來(lái)解題的，所以在對(duì)這類問(wèn)題的練習(xí)過(guò)程中，一定要牢牢地把握這兩點(diǎn)，我們就可以快速的解題。
三、同余問(wèn)題
這類問(wèn)題也是考試中比較常見(jiàn)的一類，主要是從除數(shù)與余數(shù)的關(guān)系入手，來(lái)求得最終答案。通過(guò)總結(jié)我們得出解決同余問(wèn)題的核心口訣，如下表所示：
同余問(wèn)題核心口訣 “余同取余，和同加和，差同減差，最小公倍數(shù)作周期” 。
余同取余：“一個(gè)數(shù)除以4余1，除以5余1，除以6余1”，這個(gè)數(shù)是 60n+1;
和同加和：“一個(gè)數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1”，這個(gè)數(shù)是 60n+7;
差同減差：“一個(gè)數(shù)除以4余3，除以5余4，除以6余5”，這個(gè)數(shù)是 60n-1。
說(shuō)明：在這里，n的取值范圍為整數(shù)，可以為正數(shù)也可以取負(fù)數(shù)。
例1：一個(gè)數(shù)除以4余1，除以5余1，除以6余1，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)數(shù)如何表示？
【解析】如果我們?cè)O(shè)這個(gè)數(shù)為A，則A除以4余1，除以5余1，除以6余1，那么A-1就可以被4、5、6整除，則4、5、6的最小公倍數(shù)為60，因此A-1我們就可以表示為60n，所以，A=60n+1。
【提示】這個(gè)數(shù)除以4余1，除以5余1，除以6余1，即余數(shù)都為1，余數(shù)相同，直接利用口決“余同取余，最小公倍數(shù)作周期”最后找到了這個(gè)數(shù)為A=60n+1。
例2：一個(gè)數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)數(shù)如何表示？
【解析】如果我們?cè)O(shè)這個(gè)數(shù)為A，則A除以4余3，除以5余2，除以6余1，我們知道除數(shù)與對(duì)應(yīng)余數(shù)的和相同，對(duì)應(yīng)的為“和同加和”，滿足這三個(gè)條件的數(shù)可以表示為：A= 60n+7。
【提示】這個(gè)數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1，即商與余數(shù)的和都為7，即和相同，直接利用口決“和同加和，最小公倍數(shù)作周期”最后找到了這個(gè)數(shù)為A=60n+7。
例3：一個(gè)數(shù)除以4余1，除以5余2，除以6余3，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)數(shù)如何表示？
【解析】除以除以4余1，除以5余2，除以6余3，我們知道除數(shù)與對(duì)應(yīng)余數(shù)的差相同，對(duì)應(yīng)的為“差同減差”，滿足這三個(gè)條件的數(shù)可以表示為：60n-1。
【總結(jié)】只要出現(xiàn)了同余問(wèn)題，我們可以直接利用口訣：“余同取余，和同加和，差同減差，最小公倍數(shù)作周期”就能快速的找到題目所要求的數(shù)字。
根據(jù)以上三道例題的結(jié)論，我們還可以舉一反三地解決其他相關(guān)問(wèn)題。如：
例4：一個(gè)三位數(shù)除以9余7，除以5余2，除以4余3，這樣的三位數(shù)共有多少個(gè)？
A. 5個(gè) B. 6個(gè) C. 7個(gè) D. 8個(gè)
【解析】根據(jù)題目除以5余2，除以4余3，我們知道除數(shù)與對(duì)應(yīng)余數(shù)與商的和相同，對(duì)應(yīng)的為“和同加和”，滿足這兩個(gè)條件的數(shù)可以表示為，B=20n+7，表示除以20余7;再加上之前的條件除以9余7，對(duì)應(yīng)的為“余同取余”，我們得到這個(gè)數(shù)可以表示為180n+7，由于這個(gè)數(shù)為三位數(shù)，所以n可以取1、2、3、4、5，所以共5個(gè)。
四、同余問(wèn)題的延伸
公務(wù)員行測(cè)考試中常見(jiàn)的集中情況和中國(guó)剩余定理，就是同余問(wèn)題的延伸，那么接下來(lái)我們就重點(diǎn)研究中國(guó)剩余定理。了解中國(guó)剩余定理在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。中國(guó)古代著名數(shù)學(xué)著作<孫子算經(jīng)>記載，“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？”此問(wèn)題為中國(guó)剩余定理的原型。下面河北公務(wù)員考試網(wǎng)（m.xiangyangzhi.com/介紹該如何來(lái)應(yīng)對(duì)此類的問(wèn)題。
例6：物品的個(gè)數(shù)滿足除以3余2，除以5余3，除以7余2，則物品至少有多少個(gè)？（ ）
A.21 B.23 C.37 D.43
【解析】余數(shù)問(wèn)題，可考慮代入排除法，選擇B選項(xiàng)。
例7：以上題為例：物品的個(gè)數(shù)滿足除以3余2，除以5余3，除以7余2，則物品有多少個(gè)？（ ）
【解析】此時(shí)用同余問(wèn)題的口訣不能再解決此類的問(wèn)題了，那么我們還可以考慮，滿足除以3余2的最小數(shù)為2，在2的基礎(chǔ)上每次加3，直到滿足除以5余3，這個(gè)最小的數(shù)為8;在8的基礎(chǔ)上每次加3、5的最小公倍數(shù)15，直到滿足除以7余2，這個(gè)數(shù)最小為23,。所以滿足條件的最小自然數(shù)為23，而3、5、7的最小公倍數(shù)為105，所以滿足條件的數(shù)可以表示為105N+23（n=0、1、2、3……）類似于同余問(wèn)題，最小公倍數(shù)做周期。我們解決此類問(wèn)題考慮的方法是層層推進(jìn)的解法。
例8：韓信故鄉(xiāng)淮安民間留傳著一則故事-----“韓信點(diǎn)兵”。秦朝末年，楚漢相爭(zhēng)。有一次，韓信率1500名將士與楚軍交戰(zhàn)，戰(zhàn)后檢點(diǎn)人數(shù)。他命將士3人一排，結(jié)果多出2名；命將士5人一排，結(jié)果多出3名；命將士7人一排，結(jié)果又多出2名，用兵如神的韓信立刻知道尚有將士人數(shù)。已知尚有將士人數(shù)是下列四個(gè)數(shù)字中的一個(gè)。則該數(shù)字是（ ）
A.868 B.998 C.1073 D.1298
【解析】余數(shù)問(wèn)題：代入排除法，選C.
有些題目可以直接利用其口訣做題，而有些題目不可以直接利用其口訣做題，用層層推進(jìn)的解法又較慢，那我們?cè)撛趺崔k呢？巧妙應(yīng)用---余同、和同、差同的構(gòu)造思想
例9：某出版社工作人員將一批書(shū)打包，每包裝11本則多出5本，每包裝13本則多出6本，每包裝15本，則多出7本，問(wèn)這批書(shū)至少有多少本？
A.1072 B.2144 C.2145 D.3217
【解析】這一批書(shū)的本數(shù)設(shè)為A,此時(shí)A滿足除以11余5，除以13余6，除以15余7，經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)余不同、差不同、和不同，但是我們可以將數(shù)的數(shù)量乘以2，這時(shí)2A滿足除以11余10，除以13余12，除以15余14，由此我們已經(jīng)構(gòu)造出了三者之差均為1，根據(jù)“差同減差，最小公倍數(shù)做周期”，2A=2145n-1（2145為11、13、15三者的最小公倍數(shù)，n為1、2、3……）2A最小為2144，因此這批書(shū)只少有2144÷2=1072本書(shū)。選擇A選項(xiàng)。
【提示】遇見(jiàn)此類問(wèn)題時(shí)，我們將其構(gòu)造成同余問(wèn)題，再直接利用口決“和同加和，最小公倍數(shù)作周期”最后找到所求的那個(gè)數(shù)的2倍，再除以2才是正確的答案。
行測(cè)更多解題思路和解題技巧，可參看2014年公務(wù)員考試技巧手冊(cè)。
